Question

2．如图所示，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，从⊙O₁上点A作的切线AB，切点为B，连AP（不过O₁）并延长与⊙O₂交于点C．
（1）求证：AO₁∥CO₂；
（2）若$\frac{AC}{AB}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，求⊙O₁的半径与⊙O₂的半径之比．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质，证明角相等，即可证明：AO₁∥CO₂；
（2）由切割线定理得出AP=2PC，由（1）可得△O₁AP∽△O₂CP，即可求⊙O₁的半径与⊙O₂的半径之比．

解答 （1）证明：连接O₁O₂，则O₁O₂过点P，
∴∠O₁PA=∠O₂PC
∵∠O₁PA=∠O₁AP，∠O₂PC=∠O₂CP，
∴∠O₁AP=∠O₂CP
∴AO₁∥CO₂；
（2）解：设AB=2t，AC=$\sqrt{6}$t，
由切割线定理可得AB²=AP•AC，
∴AP=$\frac{A{B}^{2}}{AC}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$t，PC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$t，
∴AP=2PC，
由（1）可得△O₁AP∽△O₂CP，
∴$\frac{A{O}_{1}}{C{O}_{2}}$=$\frac{AP}{PC}$=2，
∴⊙O₁的半径与⊙O₂的半径之比为2：1．

点评 本题考查等腰三角形的性质，考查切割线定理的运用，考查三角形相似的判定与性质，属于中档题．