Question

8．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）在直角坐标系下求曲线C的方程；
（2）设点D在曲线C上，曲线C在D处的切线与直线l：y=$\sqrt{3}$x+2垂直，根据（1）中你得到的曲线C的方程，在直角坐标系下求D的坐标．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．可得ρ²=2ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程；
（2）利用圆的方程：（x-1）²+y²=1（0≤y≤1）．令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cos\frac{π}{3}}\\{y=sin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，即可得出直角坐标．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．可得ρ²=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=2x，配方为：（x-1）²+y²=1（0≤y≤1）．
（2）利用圆的方程：（x-1）²+y²=1（0≤y≤1）．令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cos\frac{π}{3}}\\{y=sin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，可得D的直角坐标系为$（1+cos\frac{π}{3}，sin\frac{π}{3}），即（\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．