Question

关于f（x）=4sin（2x+

π

3

）有下列命题
①y=f（x）向右平移

π

3

个单位后得到y=4sin2x的图象
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-

π

6

）
③由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂为π的整数倍
④y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称
⑤y=f（x）的图象关于直线x=

π

12

对称
其中正确的命题为

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：由三角函数的图象和性质，逐个选项验证可得．

解答： 解：∵f（x）=4sin（2x+

π

3

），
∴y=f（x）向右平移

π

3

个单位后得到y=4sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]的图象，
化简可得y=4sin（2x-

π

3

），而不是y=4sin2x，故①错误；
②由诱导公式可得y=4sin（2x+

π

3

）=4sin（2x-

π

6

+

π

2

）=4cos（2x-

π

6

），故②正确；
③可得函数的周期为

2π

2

=π，∴由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂为

π

2

的整数倍，故③错误；
④由2x+

π

3

=kπ可得x=

kπ

2

-

π

6

，∴函数的对称中心为（

kπ

2

-

π

6

，0）k∈Z，
当k=0时可得对称中心为（-

π

6

，0），故④正确；
⑤由2x+

π

3

=kπ+

π

2

可得x=

kπ

2

+

π

12

，∴函数的对称轴为x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，
当k=0时可得对称轴为x=

π

12

，故⑤正确．
故答案为：②④⑤

点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的对称性和变换，属中档题．