Question

对于各项均为整数的数列{a_n}，如果a_i+i（i=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{a_n}具有“P性质”，如果数列{a_n}不具有“P性质”，只要存在与{a_n}不是同一数列的{b_n}，且{b_n}同时满足下面两个条件：①b₁，b₂，b₃，…b_n是a₁，a₂，a₃，…，a_n的一个排列；②数列{b_n}具有“P性质”，则称数列{a_n}具有“变换P性质”，下面三个数列：①数列1，2，3，4，5；②数列1，2，3，…，11，12；③数列{a_n}的前n项和为S_n=

n

3

（n²-1）．其中具有“P性质”或“变换P性质”的有（　　）

• A、③
• B、①③
• C、①②
• D、①②③

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：对于①，数列1，2，3，4，5，具有“变换P性质”，数列{b_n}为3，2，1，5，4，具有“P性质”；
对于②，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以1，2，3，…，11，不具有“变换P性质”；
对于③，求出数列{a_n}的通项，验证a_i+i=i²（i=1，2，3，…）为完全平方数，可得结论

解答： 解：对于①，数列1，2，3，4，5，具有“变换P性质”，数列{b_n}为3，2，1，5，4，具有“P性质”，
∴数列{a_n}具有“变换P性质”；
对于②，∵11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，
∴1，2，3，…，11，不具有“变换P性质”．
对于③，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-n
∵a₁=0，∴a_n=n²-n．
∴a_i+i=i²（i=1，2，3，…）为完全平方数
∴数列{a_n}具有“P性质”；
故选：D．

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．