Question

20．若a_n+1=2a_n+1（n=1，2，3，…）．且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）归纳猜想通项公式a_n并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）根据递推公式，分别代值计算即可，
（2）由（1）可以猜想a_n=2ⁿ-1（n∈N^*），并用数学归纳法证明即可

解答 解：（1）由已知a₁=1，a_n+1=2a_n+1，得
a₂=3=2²-1，a₃=7=2³-1，
a₄=15=2⁴-1，a₅=31=2⁵-1．
（2）归纳猜想，得a_n=2ⁿ-1（n∈N^*），
证明如下：①当n=1时，a₁=2¹-1=1，成立，
②假设n=k时成立，即a_k=2^k-1（k∈N^*），
那么a_k+1=2a_k+1=2•（2^k-1）+1=2^k+1-1，
即当n=k+1时也成立，
由①②可得a_n=2ⁿ-1（n∈N^*）都成立．

点评 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．