Question

10．已知α，β，γ∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanα=2，tanβ=$\frac{2}{3}$，tanγ=$\frac{1}{8}$，求α+β-γ

Answer 1

分析 先根据α、β、γ的正切直，确定α+β-γ的范围，再利用两角和差的正切公式，求得角α+β-γ的正切值，可得α+β-γ的值．

解答 解：∵α，β，γ∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanα=2，tanβ=$\frac{2}{3}$，tanγ=$\frac{1}{8}$，∴α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），γ∈（ 0，$\frac{π}{4}$），
∴α+β-γ∈（ $\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{2+\frac{2}{3}}{1-2•\frac{2}{3}}$=-8，又tan（α+β-γ）=$\frac{tan（α+β）-tanγ}{1+tan（α+β）•tanγ}$=$\frac{-8-\frac{1}{8}}{1+（-8）•\frac{1}{8}}$不存在，
故α+β-γ=$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查两角和差的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．