Question

已知如图为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分图象．
（1）求f（x）的解析式及其单调递增区间；
（2）求函数g（x）=

f(x)+2

f(x+ π 4 )+2

的值域．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数图象过点（0，1）可得φ=

π

6

，又ω

2π

3

+φ=

3π

2

，可得ω=2，可得函数解析式，整体法可得单调区间；
（2）由（1）知g（x）=y=

sin(2x+ π 6 )+1

cos(2x+ π 6 )+1

，变形可得sin（2x+

π

6

+φ）=

y-1

1+y2

，由三角函数的有界性可得y的不等式，解不等式可得．

解答： 解：（1）∵函数图象过点（0，1），
∴2sinφ=1，即sinφ=

1

2

，
又∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

又ω

2π

3

+φ=

3π

2

，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）由（1）知g（x）=

f(x)+2

f(x+ π 4 )+2

=

sin(2x+ π 6 )+1

sin(2x+ π 6 + π 2 )+1

=

sin(2x+ π 6 )+1

cos(2x+ π 6 )+1

，
令y=

sin(2x+ π 6 )+1

cos(2x+ π 6 )+1

，
可得sin（2x+

π

6

）+1=ycos（2x+

π

6

）+y，
∴得sin（2x+

π

6

）-ycos（2x+

π

6

）=

1+y2

sin（2x+

π

6

+φ）=y-1，
∴sin（2x+

π

6

+φ）=

y-1

1+y2

，∴|

y-1

1+y2

|≤1，
解得y≥0，即函数的值域为[0，+∞）

点评：本题考查三角函数解析式的确定，涉及三角函数的单调性和有界性，属中档题．