Question

已知函数y=a^x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则

4

a-1

+

1

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：函数y=a^x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），可得3=a+b，a＞1，b＞0．即（a-1）+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵函数y=a^x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），∴3=a+b，a＞1，b＞0．
∴（a-1）+b=2．
∴

4

a-1

+

1

b

=

1

2

(a-1+b)(

4

a-1

+

1

b

)=

1

2

(5+

4b

a-1

+

a-1

b

)≥

1

2

(5+2

4b a-1 × a-1 b

)=

9

2

，当且仅当a-1=2b=

4

3

时取等号．
故答案为：

9

2

．

点评：本题考查了函数的图象与性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．