Question

在平面直角坐标系中，已知直线l：y=-1，定点F（0，1），过平面内动点P作PQ丄l于Q点，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点P作圆x²+（y-2）²=4的两条切线，分别交x轴于点B、C，当点P的纵坐标y₀＞4时，试用y₀表示线段BC的长，并求△PBC面积的最小值．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆的切线方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积公式，即可求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），B（b，0），C（c，0），不妨设b＞c，可得（y₀-4）b²+4x₀b-4y₀=0，同理有（y₀-4）c²+4x₀c-4y₀=0．　所以b+c=-

4x0

y0-4

，bc=-

4y0

y0-4

，表示出面积，即可求△PBC面积的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x，y），则Q（x，-1），
∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2）． 
即2（y+1）=x²-2（y-1），即得x²=4y．
∴动点P的轨迹曲线E的方程为x²=4y；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），B（b，0），C（c，0），不妨设b＞c．
直线PB的方程：y=

y0

x0-b

（x-b），化简得y₀x-（x₀-b）y-y₀b=0．
又圆心（0，2）到PB的距离为2，

|2(x0-b)+y0b|

y02+(x0-b)2

=2，
化简得（y₀-4）b²+4x₀b-4y₀=0，同理有（y₀-4）c²+4x₀c-4y₀=0．　
所以b+c=-

4x0

y0-4

，bc=-

4y0

y0-4

，
则（b-c）²=

16(x02+y02-4y0)

(y0-4)2

=

16y02

(y0-4)2

．
则b-c=

4y0

y0-4

，
所以S_△ABC=

1

2

（b-c）y₀=2[（y₀-4）+

16

y0-4

+8]≥32．
当y₀-4=

16

y0-4

时，上式取等号，此时x₀=4

2

，y₀=8．
因此S_△ABC的最小值为32．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了数学转化思想方法，属于中档题．