Question

设函数f_k（x）=x^k+bx+c（k∈N^*，b，c∈R），g（x）=log_ax（a＞0，a≠1）．
（1）若b+c=1，且f_k（1）=g（

1

4

），求a的值；
（2）若k=2，记函数f_k（x）在[-1，1]上的最大值为M，最小值为m，求M-m≤4时的b的取值范围；
（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]满足等式：g（x₁）+g（x₂）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）代入得到关于a的方程解之；
（2）k=2，说明函数是二次函数，讨论对称轴x=-

b

2

与区间的位置关系，确定最值，得到关于b的方程，解之；
（3）将等式g（x₁）•g（x₂）=p变形得g（x₁）=p-g（x₂），由x₁，x₂的范围，得到g（x₁）、g（x₂）的范围，利用对任意实数x₁∈[a，2a]，
都有x₂∈[a，a²]得到[log_aa，log_a（2a）]⊆[p-logaa2，p-log_aa]解得即可．

解答： 解：（1）∵b+c=1，且f（1）=g（

1

4

），∴1+b+c=loga

1

4

，∴a=

1

2

；
（2）k=2时，f（x）=x²+bx+c，所以
当对称轴x=-

b

2

≤-1，即b≥2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（-1）=1-b+c，M-m=2b≤4，解得b≤2，∴b=2．
当对称轴-1＜-

b

2

≤0，即0≤b＜2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（-

b

2

）=c-

b2

4

，M-m=b+1+

b2

4

≤4，解得-6≤b≤2，∴0≤b＜2．
当对称轴0＜-

b

2

＜1，即-2≤b＜0时，M=f（-1）=1-b+c，m=f（-

b

2

）=c-

b2

4

，M-m=1-b+

b2

4

≤4，解得-2≤b≤6，∴-2＜b＜0．
当对称轴-

b

2

≥1，即b≤-2时，M=f（-1）=1-b+c，m=f（1）=1+b+c，M-m=-2b≤4，解得b≥-2，∴b=-2．
综上所述：b的取值范围是-2≤b≤2．
（3）将等式g（x₁）+g（x₂）=p变形得g（x₁）=p-g（x₂），由任意实数x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]得到[log_aa，log_a（2a）]⊆[p-logaa2，p-log_aa]，
即[1，1+log_a2]⊆[p-2，p-1]，
∴

p-2≤1 1+loga2≤p-1

，解得2+log_a2=3，∴a=2．

点评：本题考查了二次函数闭区间的最值的求法问题以及存在性问题的处理方法．