Question

曲线f（x）=xe^x在点P（1，e）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的外接圆方程是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：先求出曲线f（x）=xe^x在点P（1，e）处的切线l的方程，再求出切线l与两坐标轴围成的三角形的外接圆的圆心、半径，即可得出结论．

解答： 解：∵曲线f（x）=xe^x，
∴f′（x）=xe^x=（1+x）e^x，
∴f′（1）=2e，
∴曲线f（x）=xe^x在点P（1，e）处的切线l：y-e=2e（x-1），
x=0，可得y=-e，y=0，可得x=

1

2

，
∴切线l与两坐标轴围成的三角形的外接圆的圆心为（

1

4

，

e

2

），半径为

1+4e2

4

，
∴三角形的外接圆方程是(x-

1

4

)2+(y+

e

2

)2=

1+4e2

16

．
故答案为：(x-

1

4

)2+(y+

e

2

)2=

1+4e2

16

．

点评：利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察的直线方程的求法．