Question

已知函数f（x）=x³+x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（m+1）+f（2m-3）＜0，求m的取值范围．
（参考公式：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²））

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），可得f（x）是R上的奇函数
（2）设R上任意实数x₁、x₂满足x₁＜x₂，再用单调性的定义证明．
（3）f（m+1）+f（2m-3）＜0，可化为f（m+1）＜-f（2m-3）=f（3-2m），再由函数f（x）是R上的增函数，得m+1＜3-2m．

解答： 解：（1）f（x）是R上的奇函数
证明：∵f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数
（2）设R上任意实数x₁、x₂满足x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+[（x₁）³-（x₂）³]=（x₁-x₂）[（x₁）²+（x₂）²+x₁x₂+1]=（x₁-x₂）[（x₁+

1

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x₂）²+

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x₂²+1]＜0恒成立，
因此得到函数f（x）是R上的增函数．
（3）f（m+1）+f（2m-3）＜0，可化为f（m+1）＜-f（2m-3），
∵f（x）是R上的奇函数，∴-f（2m-3）=f（3-2m），
∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3-2m），
∵函数f（x）是R上的增函数，
∴m+1＜3-2m，
∴m＜

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点评：本题主要考查了函数的单调性和奇偶性、解不等式等知识，属于中档题．