Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，an=

Sn

n

+n-1(n∈N*)
（1）求证：数列{

Sn

n

}为等差数列；
（2）设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）经过变形利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”即可得出．
（2）利用（1）的结论和等差数列的通项公式及其“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵an=

Sn

n

+n-1(n∈N*)，
∴na_n=S_n+n（n-1），
∴当n≥2时，n（S_n-S_n-1）=S_n+n（n-1），
化为（n-1）S_n-nS_n-1=n（n-1），
∴

Sn

n

-

Sn-1

n-1

=1，
∴数列{

Sn

n

}为等差数列；  
（2）由（1）得：

Sn

n

=1+(n-1)×1=n，
∴Sn=n2．
∴a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1（n≥2）．
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题考查了利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”进行转化的能力、等差数列的通项公式及其“裂项求和”的方法．