Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-4（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b_n+1=a_n+2b_n，且b₁=2，求证数列{

bn

2n

}是等差数列；
（3）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用条件分别让n=1，2，3即可求a₁，a₂，a₃求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据等差数列的定义即可证明数列{

bn

2n

}是等差数列；
（3）利用错位相减法即可求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=2a₁-4，解得a₁=4，
当n=2时，S₂=2a₂-4=4+a₂，解得a₂=8，
当n=3时，S₃=2a₃-4=4+8+a₃，解得a₃=16，
则数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ⁺¹；
（2）若数列{b_n}满足：b_n+1=a_n+2b_n=2ⁿ⁺¹+2b_n，且b₁=2，
则

bn+1

2n+1

=1+

2bn

2n+1

=1+

bn

2n

，
即

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=1，
故数列{

bn

2n

}是公差d=1的等差数列；
（3）∵数列{

bn

2n

}是公差d=1的等差数列，首项为

b1

2

=

2

2

=1，
∴

bn

2n

=1+n-1=n，即b_n=n•2ⁿ，
则数列{b_n}的前n项和S_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
则2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得-S_n=1•2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求解以及等差数列的判断，利用错位相减法是解决本题的关键．