Question

如图，点P（0，-1）是椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个顶点，C₁的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l₁，l₂是过点P且互相垂直的两条直线，其中斜率为k的直线l₁交圆C₂于A，B两点，l₂交椭圆C₁于另一点D
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）试用k表示△ABD的面积S；
（3）求△ABD面积S取最大值时直线l₁的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得到b=1，且2a=4，由此能求出椭圆的方程．
（2）设直线l₁：y=kx-1，直线l2：y=-

1

k

x-1⇒x+ky+k=0，求出圆心（0，0）到直线l₁的距离，从而得到直线l₁被圆x²+y²=4所截的弦，由此能用k表示△ABD的面积S．
（3）S=

8 4k2+3

k2+4

=

4×8 4k2+3

4k2+3+13

，利用均值定理能求出△ABD面积S取最大值时直线l₁的方程．

解答： 解：（1）由已知得到b=1，且2a=4，
∴a=2，∴椭圆的方程是

x2

4

+y2=1．
（2）∵直线l₁⊥l₂，且都过点P（0，-1），
∴设直线l₁：y=kx-1，
∴kx-y-1=0，直线l2：y=-

1

k

x-1⇒x+ky+k=0，
∴圆心（0，0）到直线l₁：y=kx-1即kx-y-1=0的距离为d=

1

1+k2

，
∴直线l₁被圆x²+y²=4所截的弦AB=2

4-d2

=

2 3+4k2

1+k2

，
 由

x+ky+k=0 x2 4 +y2=1

⇒k2x2+4x2+8kx=0，
∴xD+xP=-

8k

k2+4

，
∴|DP|=

(1+(- 1 k  )2)•(- 8k k2+4 )2

=

8 k2+1

k2+4

，
∴S=

1

2

|AB||DP|=

1

2

×

2 3+4k2

1+k2

×

8 k2+1

k2+4

=

8 4k2+3

k2+4

．
（3）S=

8 4k2+3

k2+4

=

4×8 4k2+3

4k2+3+13

=

32

4k2+3 4k2+3 + 13 4k2+3

=

32

4k2+3 + 13 4k2+3

≤

32

2 13

=

16

13

13

，
当

4k2+3

=

13

4k2+3

⇒k2=

5

2

⇒k=±

10

2

时等号成立，
此时直线，l1：y=±

10

2

x-1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．