Question

已知A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若

m

=(cosB，sinB)，

n

=(cosC，-sinC)，且

m

•

n

=

1

2

．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2

3

， b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用两个向量的数量积公式可得 cosBcosC-sinBsinC=

1

2

，球儿cos(B+C)=

1

2

，可得C的值．
（Ⅱ）由条件利用余弦定理求得bc=4，再根据S△ABC=

1

2

bc•sinA，计算求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵△ABC中，

m

=(cosB，sinB)，

n

=(cosC，-sinC)，

m

•

n

=

1

2

，
∴cosBcosC-sinBsinC=

1

2

，∴cos(B+C)=

1

2

．
又∵0＜B+C＜π，∴B+C=

π

3

，∵A+B+C=π，∴A=

2π

3

．
（Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA可得 (2

3

)2=(b+c)2-2bc-2bc•cos

2π

3

，
即：12=16-2bc-2bc•(-

1

2

)，∴bc=4，
∴S△ABC=

1

2

bc•sinA=

1

2

•4•

3

2

=

3

．

点评：本题综合考察平面向量的数量积、三角恒等变换、利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题．