Question

12．以下关于向量说法的四个选项中正确的选项是（　　）

• A． 若任意向量$\overrightarrow a与\overrightarrow b$共线且$\overrightarrow a$为非零向量，则有唯一一个实数λ，使得$\overrightarrow a=λ\overrightarrow b$
• B． 对于任意非零向量$\overrightarrow a与\overrightarrow b$，若$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）=0$，则$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|$
• C． 任意非零向量$\overrightarrow a与\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a•\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|$，则$\overrightarrow a与\overrightarrow b$同向
• D． 若A，B，C三点满足$\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，则点A是线段BC的三等分点且离C点较近

Answer 1

分析 举例说明$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$时，命题A不成立；
根据平面向量的数量积运算与模长公式，判断命题B正确；
由平面向量数量积公式知$\overrightarrow a与\overrightarrow b$方向相同或相反，判断命题C错误；
根据平面向量的线性运算法则，得出2$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AC}$，判断命题D错误．

解答 解：对于A，$\overrightarrow a与\overrightarrow b$共线且$\overrightarrow a$为非零向量，若$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$时，
则不存在实数λ，使$\overrightarrow a=λ\overrightarrow b$成立，∴A错误；
对于B，对于任意非零向量$\overrightarrow a与\overrightarrow b$，若$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）=0$，
则${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，即$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|$，∴B正确；
对于C，任意非零向量$\overrightarrow a与\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a•\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|$，
则它们夹角的余弦值cosθ=±1，∴$\overrightarrow a与\overrightarrow b$同向或反向，C错误；
对于D，如图所示，

$\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，∴$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$，
∴$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$），
∴2$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AC}$，
∴点A是线段BC的三等分点且离B点较近，∴D错误．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的基本概念与命题真假的判断问题，是中档题．