Question

如图为一矩形宣传单，其中矩形ABCD为排版区域，它的左右两边都留有宽为acm的空白，顶部和底部都留有宽为2acm的空白．
（1）若AB=20cm，BC=30cm，且该宣传单的面积不超过1000cm²，求实数a的取值范围；
（2）若a=1cm，排版区域ABCD的面积为800cm²，应如何设计矩形ABCD的尺寸，才能使矩形宣传单的面积最小？

Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：解：（1）如图所示，由题意可得：（20+2a）（30+4a）≤1000，又a＞0，解出即可；
（2）设AB=xcm，则BC=

800

x

cm，设宣传单的面积为S，则S=(x+2)(

800

x

+4)=4x+

1600

x

+808，利用基本不等式解出即可．

解答： 解：（1）如图所示，由题意可得：（20+2a）（30+4a）≤1000，
整理得：2a²+35a-100≤0，解得-20≤a≤2.5，
∵a＞0，∴0＜a≤2.5．
（2）设AB=xcm，则BC=

800

x

cm，设宣传单的面积为S，
则S=(x+2)(

800

x

+4)=4x+

1600

x

+808≥2

4x• 1600 x

+808=968．当且仅当x=20cm时取等号．
∴当x=20时，宣传单的面积最小，且为968cm²．
答：（1）实数a取值范围是（0，2.5]；
（2）当x=20时，宣传单的面积最小，且为968cm²．

点评：本题考查了一元二次不等式的应用、基本不等式的应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．