Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，平面SAD⊥平面ABCD，SE⊥AD于点E，CD=DE=2AB=2AE，
（1）证明：平面SBE⊥平面SEC；
（2）若SE=BE，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出∠AEB=∠ABE=45°，∠DEC=∠DCE=45°，从而得到CE⊥BE，又由∠SE⊥AD，得到SE⊥CE，进而得到CE⊥平面SAE，由此能证明平面SBE⊥平面SEC．
（2）以E为原点，EB、EC、ES分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面SBC所成角的正弦值．

解答： （1）证明：CD=DE=2AB=2AE，∠BAD=90°，AB∥CD，
∴∠CDE=90°，且∠AEB=∠ABE=45°，
同理∠DEC=∠DCE=45°，
∴∠BEC=90°，即CE⊥BE，
又∵平面CAD⊥平面ABCD，
∴∠SE⊥AD，平面ABCD∩平面SAD=AD，CE?平面ABCD，
∴SE⊥CE，又∵SE∩BE=E，∴CE⊥平面SAE，
又∵CE?平面SEC，∴平面SBE⊥平面SEC．
（2）以E为原点，EB、EC、ES分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
设CD=DE=2AB=2AE=2，且SE=BE=

2

，
则C（0，2

2

，0），B（

2

，0，0），S（0，0，

2

），E（0，0，0），
∴

BC

=(-

2

，2

2

，0)，

SB

=(

2

，0，-

2

)，

CE

=(0，-2

2

，0)，
设平面SBC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • BC =- 2 x+2 2 y=0 n • SB = 2 x- 2 x=0

，取x=

2

，得

n

=(

2

，

1

2

，

2

)，
设直线CE与平面SBC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

CE

＞|=|

(-2 2 )• 1 2

(-2 2 )2 • 2+ 1 2 +2

|=

1

3

．
∴直线CE与平面SBC所成角的正弦值是

1

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．