Question

已知函数f（x）=

x2，x∈(-∞，0) 2cosx，x∈(0，π)

，若f[f（x₀）]=0，则x₀=

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：当x∈（-∞，0）时f（x）=x²＞0，若f[f（x₀）]=0，则f（x₀）的函数值为0，不可能，从而f（x₀）∈（0，π）
易推f[f（x₀）]=0中f（x₀）=

π

2

，分①当x₀∈（-∞，0）及②当x₀∈（0，π）时两种情况讨论函数值求出x₀的值．

解答： 解：当x∈（-∞，0）时，∵f（x）=x²＞0，
若f[f（x₀）]=0，则f（x₀）的函数值为0，不可能；
∴f（x₀）∈（0，π）
∵cos

π

2

=0，∴f[f（x₀）]=0中f（x₀）=

π

2

，
①当x₀∈（-∞，0）时，x₀²=

π

2

，∴x₀=-

π 2

=-

2π

2

，
②当x₀∈（0，π）时，2cosx₀=

π

2

，∴cosx₀=

π

4

，∴x₀=arccos

π

4

，
综上：x₀=-

2π

2

，或x₀=arccos

π

4

，
故答案为：-

2π

2

或arccos

π

4

．

点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：根据自变量不同的分段，利用相应的函数表达式代换解题．