Question

已知函数f（x）=x²-|x+a|+1
（1）求函数的奇偶性；
（2）求函数的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=x²-|x+a|+1，x∈R，对a进行分类讨论判断奇偶性即可，
（2）解析式含有绝对值，分类讨论将解析式具体化后利用二次函数的性质求函数的最小值．

解答： 解：（1）函数定义域为R，
当a=0时，函数f（x）=x²-|x|+1
此时，f（-x）=（-x）²-|-x|+1=f（x），
f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（a）=a^2_-2|a|+1，f（-a）=a²+1，
f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），
此时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）①当x≥-a时，f（x）=x^2_-x+1-a=（x-

1

2

）²+

3

4

-a，
当-a≤

1

2

即a≥-

1

2

时，f（x）_min=

3

4

-a，
当-a＞

1

2

即a＜-

1

2

时，f（x）_min=f（-a）=a²+1，
②当x≤-a时，f（x）=x^2₊x+1+a=（x+

1

2

）²+

3

4

+a，
当-a≥-

1

2

即a≤

1

2

时，f（x）_min=

3

4

+a，
当-a＜-

1

2

即a＞

1

2

时，f（x）_min=f（-a）=a²+1，

点评：本题考察二次函数的含参讨论问题，解析式中有绝对值，需要先讨论去绝对值．