Question

已知函数f（x）=（x³+2x²+5x+t）e^-x，t∈R，x∈R．
（Ⅰ）当t=5时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在实数t∈[0，1]，使对任意的x∈[-4，m]，不等式 f（x）≤x恒成立，
求整数m的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得到其单调区间；
（Ⅱ）不等式f（x）≤x可变为t≤xe^x-x³-2x²-5x，存在t∈[0，1]，使得对任意x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，等价于0≤xe^x-x³-2x²-5x对于x∈[-4，m]恒成立，先讨论①m≤0时的情况，此时不等式可化简为e^x-x²-2x-5≤0，令g（x）=e^x-x²-2x-5，由于m为整数，利用导数验证m=-1，m=0时恒成立情况，再讨论②m=1时情况，综上可得最大整数m值．

解答： 解：（Ⅰ）当t=5时，f（x）=（x³+2x²+5x+5）e^-x，f'（x）=（3x²+4x+5）e^-x-（x³+2x²+5x+5）e^-x=-（x³-x²+x）e^-x=-x（x²-x+1）e^-x．
令f'（x）＞0，因为x²-x+1＞0，得x＜0；令f'（x）＞0，得x＞0；
故函数y=f（x）的单调增区间为（-∞，0），单调减区间为（0，+∞）．
（Ⅱ）不等式 f（x）≤x，即（x³+2x²+5x+t）e^-x≤x，即t≤xe^x-x³-2x²-5x．
转化为存在实数t∈[0，1]，使对任意的x∈[-4，m]，不等式t≤xe^x-x³-2x²-5x恒成立．
即不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x对于x∈[-4，m]恒成立．
当m≤0时，则有不等式e^x-x²-2x-5≤0对于x∈[-4，m]恒成立．
设g（x）=e^x-x²-2x-5，则g'（x）=e^x-2x-2，又m为整数，
则当m=-时，则有-4≤x≤-1，此时g'（x）=e^x-2x-2＞0，
则g（x）在[-4，-1]上为增函数，∴g（x）≤g（-1）＜0恒成立．
m=0时，当-1＜x≤0时，因为[g′（x）]′=e^x-2＜0，则g′（x）在（-1，0]上为减函数，
g'（-1）=e^-1＞0，g'（0）=-1＜0故存在唯一x₀∈（-1，0]，使得g'（x₀）=0，
即ex0=2x0+2．
则当-4≤x＜x₀，有g'（x）＞0；当x₀＜x≤0，有g'（x）＜0；
故函数g（x）在区间[-4，x₀]上为增函数，在区间[x₀，0]上为减函数，
则函数g（x）在区间[-4，0]上的最大值为g(x0)=ex0-

x

2 0

-2x0-5，
又ex0=2x0+2，则g(x0)=(2x0+2)-

x

2 0

-2x0-5=-

x

2 0

-3＜0．
故不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x对于x∈[-4，0]恒成立．
而当m=1时，不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x对于x=1不成立．
故使命题成立的整数m的最大值为0．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，解决恒成立问题常转化为函数最值问题处理，属于难题．