Question

对于给定的以下四个命题：
①函数f(x)=

x2-2x

x-2

是奇函数；
②函数f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函数，若x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），且x₁＜x₂则一定有f（x₁）＜f（x₂）；
③函数f（x）在R上为奇函数，且当x＞0时有f(x)=

x

+1，则当x＜0，f（x）=-

-x

-1；
④函数y=x+

1-2x

的值域为{y|y≤1}．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①求出函数f(x)=

x2-2x

x-2

的定义域，即可判定f（x）不是奇函数；
②举例说明命题不成立即可；
③由题意，利用奇偶性以及x＞0时f（x）的解析式，求出x＜0时f（x）的解析式；
④用换元法，设t=

1-2x

，求出函数y在某一区间上的最值即得值域．

解答： 解：①∵函数f(x)=

x2-2x

x-2

的定义域是{x|x≠2}，不关于原点对称，
∴f（x）是非奇非偶的函数，
∴命题①错误；
②当f（x）=-

1

x

时，f（x）在（-∞0）（0+∞）上都是增函数，
且-1＜1，但f（-1）=1，f（1）=-1，
∴命题②错误；
③根据题意，当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=

-x

+1；
又f（x）在R上是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-

-x

-1，
∴命题③正确；
④设t=

1-2x

，∴x=

1

2

（1-t²），（其中t≥0）；
∴函数可化为y=

1

2

（1-t²）+t=-

1

2

t²+t+

1

2

=-

1

2

（t-1）²+1，
∵t≥0，∴当t=1时，y有最大值1；
∴函数y的值域为{y|y≤1}．
所以，以上正确的命题序号为③④；
故答案为：③④．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了函数的奇偶性与单调性以及求函数的值域问题，是综合题．