Question

若函数f（x）=x²-（m+2）x+m+5在区间（2，4）内有且只有一个零点，则实数m的取值范围是

 

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Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：若若函数f（x）=x²-（m+2）x+m+5在区间（2，4）内有且只有一个零点，则x²-（m+2）x+m+5=0在区间（2，4）内有且只有一个根，结合零点存在定理，分△=0和△＞0两种情况讨论满足条件的实数m的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：若函数f（x）=x²-（m+2）x+m+5在区间（2，4）内有且只有一个零点，
则x²-（m+2）x+m+5=0在区间（2，4）内有且只有一个根，
当△=（m+2）²-4（m+5）=m²-16=0时，m=±4
当m=-4时，x²-（m+2）x+m+5=0可化为x²+2x+1=0，此时方程的根-1∉（2，4）
当m=4时，x²-（m+2）x+m+5=0可化为x²-6x+9=0，此时方程的根3∈（2，4）
当△=（m+2）²-4（m+5）=m²-16＞0时，m∈（-∞，-4）∪（4，+∞）
若函数f（x）=x²-（m+2）x+m+5在区间（2，4）内有且只有一个零点，
则f（2）•f（4）=（-m+5）（-3m+13）＜0，
解得

13

3

≤m＜5
∴

13

3

≤m＜5
综上所述若函数f（x）=x²-（m+2）x+m+5在区间（2，4）内有且只有一个零点，则实数m的取值范围是

13

3

≤m＜5或m=4
故答案为：

13

3

≤m＜5或m=4

点评：本题考查的知识点是函数的零点，二次函数的图象和性质，是函数和方程的综合应用，难度中档．