Question

下列7个判断：
①若f（x）=x²-2ax在[1，+∞）上增函数，则a=1；②函数f（x）=2^x-x²只有两个零点；
③函数y=ln（x²+1）的值域是R；④函数y=2^|x|的最小值是1；⑤在同一坐标系中函数y=2^x与y=2^-x的图象关于y轴对称；⑥设a＞1，log0.2a、0.2a、a0.2的大小关系为log0.2a＜0.2a＜a0.2；⑦设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（-2），f（π），f（-3）的大小关为U=R；
其中正确的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①由f（x）是二次函数，根据二次函数的图象与性质，判定函数的单调区间即可；
②在同一坐标系内画出函数y=2^x，y=x²的图象，由图象交点的个数判定f（x）的零点个数；
③由x²≥0，求出函数y=ln（x²+1）的值域即可；
④由|x|≥0，求出函数y=2^|x|的最小值即可；
⑤由f（x）=2^|x|是R上的偶函数，判定函数y=2^x与y=2^-x的对称问题即可；
⑥当a＞1时，由指数函数、对数函数的图象与性质判定log_0.2a、0.2^a与a^0.2的大小即可；
⑦由f（x）是偶函数且在[0，+∞）上是增函数，可以判定f（-2）、f（-3）与f（π）的大小．

解答： 解：①当f（x）=x²-2ax在[1，+∞）上是增函数时，
二次函数图象的对称轴x=a≤1，
∴命题①错误；
②考查函数y=2^x，y=x²的图象，如图，
由图象知两函数有3个交点，
∴f（x）=2^x-x²有3个零点，
∴命题②错误；
③∵x²≥0，
∴x²+1≥1，
∴ln（x²+1）≥0；
∴函数y=ln（x²+1）的值域是[0，+∞）；
∴③错误；
④∵|x|≥0，
∴2^|x|≥2⁰=1，
∴函数y=2^|x|的最小值是1；
∴命题④正确；
⑤∵f（x）=2^|x|，是R上的偶函数，图象关于y轴对称，
∴在同一坐标系中，函数y=2^x与y=2^-x的图象关于y轴对称，
∴命题⑤正确；
⑥∵a＞1，
∴log_0.2a＜log_0.21=0，
0＜0.2^a＜0.2¹=0.2，
1=a⁰＜a^0.2，
∴log0.2a＜0.2a＜a0.2；
∴命题⑥正确；
⑦∵偶函数f（x）的定义域为R，
∴f（-2）=f（2），
f（-3）=f（3），
当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，
∴f（2）＜f（3）＜f（π），
∴f（-2）＜f（-3）＜f（π），
∴命题⑦错误；
所以，以上命题正确的是④⑤⑥；
故答案为：④⑤⑥．

点评：本题通过命题真假的判定考查了对称轴，单调性与奇偶性，以及利用单调性比较函数值的大小问题，是综合题目．