Question

22、已知函数f（x）=

1

2

x²-mlnx+（m-1）x，m∈R．
（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求m的值；
（2）当m≤0 时，讨论函数f（x） 的单调性；
（3）求证：当 m=-2时，对任意的₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x 2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数思想,导数的综合应用

分析：（1）由题意，f′（2）=0，求出m的值；
（2）求出函数的导数f′（x），讨论m的值，当f′（x）＞0时，f（x）增，f'（x）＜0时，f（x）减；
（3）m=-2时，由函数f（x），构造辅助函数g（x）=f（x）+x，利用导数判断g（x）的单调性，
得出f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，从而得出结论

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-mlnx+（m-1）x，m∈R，
∴f′（x）=x-

m

x

+m-1，
又∵函数 f（x）在x=2处有极值，
∴f′（2）=2-

m

2

+m-1=0，
解得m=-2；
（2）∵f′（x）=x-

m

x

+m-1=

x2+(m-1)x-m

x

=

(x-1)(x+m)

x

，
∴①当-1＜m≤0时，若x∈（0，-m）时，则f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（-m，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
②当m=-1时，f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
③当m＜-1，即-m＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（1，-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
（3）当m=-2时，函数f（x）=

1

2

x2+2lnx-3x，
构造辅助函数g（x）=f（x）+x，并求导得：
g'（x）=x+

2

x

-2=

x2-2x+2

x

=

(x-1)2+1

x

，
∴g'（x）＞0，g（x）为增函数．
∴对任意0＜x₁＜x₂，都有g（x₁）＜g（x₂）成立，
即f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，
即f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂；
又∵x₁-x₂＜0，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．（14分）

点评：本题考查了导数的综合应用问题，考查了函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系，也考查了构造函数与转化思想，是综合题目．