Question

已知数列{a_n}满足：a_n•a_n+1=λ•2ⁿ．，n∈N^*，λ≠0，且a₁=

2

．
（1）求证：

an+2

an

=2；
（2）是否存在λ，使得{a_n}为等比数列？并说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由已知的数列递推式得到an+1•an+2=λ•2n+1，与原数列递推式作比后得答案；
（2）由（1）知数列{a_n}的所有奇数项构成以2为公比的等比数列，所有偶数项构成以2为公比的等比数列，再由

a2

a1

=±

2

求得λ值，即可说明存在λ=±

2

，使得{a_n}为等比数列．

解答： （1）证明：∵a_n•a_n+1=λ•2ⁿ，
∴an+1•an+2=λ•2n+1，
则

an+2

an

=

λ•2n+1

λ•2n

=2；
（2）解：由

an+2

an

=

λ•2n+1

λ•2n

=2，
可知数列{a_n}的所有奇数项构成以2为公比的等比数列，所有偶数项构成以2为公比的等比数列，
若存在λ，使得{a_n}为等比数列，则

a2

a1

=±

2

，
由已知，a_n•a_n+1=λ•2ⁿ，a₁=

2

，得
a2=

λ•21

a1

=

2λ

2

=

2

λ．
∴

a2

a1

=

2 λ

2

=λ=±

2

．
∴存在λ=±

2

，使得{a_n}为等比数列．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，关键是对已知数列递推式的理解及应用，是中档题．