题目内容
已知α，β，γ∈（0，
），cosα+cosβ+cosγ=1，求tan2α+tan2β+8tan2γ的最小值．
| π |
| 2 |
考点：基本不等式在最值问题中的应用,同角三角函数基本关系的运用
专题：不等式的解法及应用
分析：利用诱导公式转化所求表达式为三个角的余弦函数的形式，通过“1”的代换，利用基本不等式求解表达式的最值，即可．
解答：
解：α，β，γ∈（0，
），故三个角的三角函数值都大于0，
Y=tan2α+tan2β+8tan2γ=
+
+
-10，
而cosα+cosβ+cosγ=1可得：（cosα+cosβ+cosγ）2=1
为方便起见，令：cosα=x，cosβ=y，cosγ=z，x、y、z∈（0，1）．
则Y=
+
+
-10
且（x+y+z）2=1∴Y=Y=
+
+
-10，
即Y=(
+
)+(
+
)+(
+
)+(
+
)+(
+
)+(
+
)+(
+
+
)≥2+4
+4
+4+8
+3
=18+24
，
当且仅当x=y=
z时取等号，
所以所求的最小值为18+24
．
| π |
| 2 |
Y=tan2α+tan2β+8tan2γ=
| 1 |
| cos2α |
| 1 |
| cos2β |
| 8 |
| cos2γ |
而cosα+cosβ+cosγ=1可得：（cosα+cosβ+cosγ）2=1
为方便起见，令：cosα=x，cosβ=y，cosγ=z，x、y、z∈（0，1）．
则Y=
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| y2 |
| 8 |
| z2 |
且（x+y+z）2=1∴Y=Y=
| (x+y+z)2 |
| x2 |
| (x+y+z)2 |
| y2 |
| 8(x+y+z)2 |
| z2 |
即Y=(
| y2 |
| x2 |
| x2 |
| y2 |
| z2 |
| x2 |
| 8x2 |
| z2 |
| z2 |
| y2 |
| 8y2 |
| z2 |
| 2y |
| x |
| 2x |
| y |
| 2z |
| x |
| 16x |
| z |
| 2z |
| y |
| 16y |
| z |
| 2yz |
| x2 |
| 2zx |
| y2 |
| 16xy |
| z2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 3 | 64 |
| 2 |
当且仅当x=y=
| ||
| 4 |
所以所求的最小值为18+24
| 2 |
点评：本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．本题是中档题．
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