Question

已知F₁（-

2

，0）和F₂（

2

，0），点T（x，y）满足|

TF1

|+|

TF2

|=4，O为直角坐标原点．
（1）求点T的轨迹M的方程；
（2）过点（0，1）且斜率k=

2

2

的一条直线与轨迹M相交于点P、Q两点，OP、OQ所在的直线的斜率分别是k_OP、k_OQ，求k_OP•k_OQ的值．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线的斜率

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可知点T的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，其中 a=2，c=

2

，b=

a2-c2

=2，由此能够推导出点T的轨迹方程．
（2）先求出直线l的方程，与椭圆方程联立求出x₁x₂以及y₁y₂=-

1

2

代入k_OP•k_OQ即可得到结论．

解答： 解：（1）∵|

TF1

|+|

TF2

|=4＞|F₁F₂|=2

2

，
∴点T的轨迹M是以F₁，F₂为焦点的椭圆，
其中a=2，c=

2

，b=

a2-c2

=2，
故点T的轨迹方程为

x2

4

+y²=1；
（2）设过点（0，1）且斜率k=

2

2

的直线方程为：y=

2

2

x+1，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立椭圆方程：

x2

4

+y²=1，消去y，得x²+

2

x-1=0，则x₁x₂=-1；
同理消去x，得到2y²-2y-1=0，则y₁y₂=-

1

2

，
故k_OP•k_OQ=

y1y2

x1x2

=

1

2

．

点评：本题综合考查椭圆的定义、方程和性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，考查运算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免出现不必要的错误．