Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使方程f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1．
（1）当a=1，b=-2时，求f（x）的不动点；
（2）当b=2时，若函数f（x）存在不动点x₀∈（-1，1），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将a、b代入函数，根据条件“若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点”建立方程解之即可；
（2）将b=2代入得到ax²+2x+1=0，令g（x）=ax²+2x+1，通过讨论a=0，a≠0得出结论．

解答： 解：（1）当a=1，b=-2时，f（x）=x²-x-3=x?x²-2x-3=0?（x-3）（x+1）=0?x=3或x=-1，
∴f（x）的不动点为x=3或x=-1．
（2）b=2时，f（x）=ax²+3x+1=x，
∴ax²+2x+1=0，
令g（x）=ax²+2x+1，
a=0时，令g（x）=0，解得：x=-

1

2

，符合题意，
a≠0时，由题意得：g（x）在（-1，1）上有零点，
∴g（-1）g（1）＜0，即（a-1）（a+3）＜0，解得：-3＜a＜1，且a≠0，
综上：-3＜a＜1．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，考查了转化思想，考查了函数的零点问题，是一道中档题．