Question

已知动圆E过定点M（0，2），且在x轴上截得弦长为4，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点A为直线l：x-y-2=0上任意一点，过A做曲线C的切线，切点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过定点，并求出该定点．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：证明题,综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设动圆圆心的坐标为E（x，y），由动圆E过定点M（0，2），且在x轴上截得弦长为4，即可列式求得曲线C的方程；
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，与（1）中求得的曲线C的方程联立，消去y得：x²-4kx-4b=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），结合韦达定理可求得以点P为切点的切线的方程为y=

1

2

x₁x-

1

4

x12，同理可得过点Q的切线的方程为y=

1

2

x₂x-

1

4

x22，二式联立可求得交点A的坐标，将所求的点A的坐标代入直线l的方程x-y-2=0，即可证得直线PQ恒过定点，并求出该定点．

解答： （1）解：设动圆圆心的坐标为E（x，y），依题意，

(x-0)2+(y-2)2

=

y2+4

，
化简得：x²=4y，
所以曲线C的方程为x²=4y；
（2）证明：设直线PQ的方程为y=kx+b，由

x2=4y y=kx+b

，消去y得：x²-4kx-4b=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2=4k x1x2=-4b

，且△=16k²+16b．
以点P为切点的切线的斜率为k_P=

1

2

x₁，其切线方程为y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），
即y=

1

2

x₁x-

1

4

x12，
同理过点Q的切线的方程为y=

1

2

x₂x-

1

4

x22，
依题意，两条直线的交点为A（x_A，y_A）在直线l：x-y-2=0上，
所以

xA= x1+x2 2 =2k yA= x1x2 4 =-b

，即A（2k，-b），
则：2k-（-b）-2=0，即b=2-2k，
所以直线y=kx+2-2k，即y=k（x-2）+2，显然该直线恒过定点（2，2）（证毕）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，着重考查直线方程与圆锥曲线方程的联立及韦达定理的应用，考查化归思想、方程思想与综合运算能力，属于难题．