Question

3．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+2+（-1）ⁿa_n=1，则数列{a_n}的前100项之和为1300．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+2+（-1）ⁿa_n=1，对n分类讨论可得：a_2k+2+a_2k=1，a_2k+1-a_2k-1=1，k∈N^*．利用分组求和、等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+2+（-1）ⁿa_n=1，
∴n=2k为偶数时，a_2k+2+a_2k=1；n=2k-1为奇数时，a_2k+1-a_2k-1=1，k∈N^*．
∴数列{a_n}的奇数项成等差数列，公差为1，首项为1．
∴数列{a_n}的前100项之和=（a₁+a₃+…+a₉₉）+[（a₂+a₄）+…+（a₉₈+a₁₀₀）]
=50×1+$\frac{50×49}{2}$×1+25
=1300．
故答案为：1300．

点评 本题考查了分组求和、等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．