Question

1．下列命题中：
①△ABC中，A＞B?sinA＞sinB
②数列{a_n}的前n项和S_n=n²-2n-1，则数列{a_n}是等差数列．
③锐角三角形的三边长分别为3，7，a，则a的取值范围是2$\sqrt{10}$$＜a＜\sqrt{58}$．
④若S_n=2-a_n，则{a_n}是等比数列
真命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 逐项判断各个命题的真假即可得解．①由三角形中的边角关系和正弦定理易得；②④由数列通项和前n项和的关系可判断命题真假；③由余弦定理列出不等式组，可得结果．

解答 解：①∵A＞B，∴a＞b，∴由正弦定理有sinA＞sinB，故①为真；
②当n=1时，a₁=S₁=-2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-3，不能表示首项，故{a_n}不是等差数列，即②为假；
③∵三角形是锐角三角形，∴由余弦定理有$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{2}{+a}^{2}{-7}^{2}＞0}\\{{3}^{2}{+7}^{2}{-a}^{2}＞0}\end{array}\right.$，解得$2\sqrt{10}＜a＜\sqrt{58}$，即③为真；
④当n=1时，a₁=1，当n≥2时，由S_n=2-a_n得：S_n-1=2-a_n-1，两式相减得${a}_{n}=\frac{1}{2}{•a}_{n-1}$，故数列{a_n}为等比数列，故④为真．
综上知，
答案为：①③④．

点评 本题考查内容较多，但难度不大．正确掌握各个命题中涉及到的知识点以及掌握其相关的解决方法是解题关键．