Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，

m

=（2a+c，b），

n

=（cosB，cosC），且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）设f（x）=2sinxcosxcos（A+C）-

3

2

cos2x，如果当x∈[0，

π

2

]时，不等式f（x）+λ≥0恒成立，求λ的最小值；
（3）在（2）的条件下，若将f（x）图象向左平移t（t＞0）个单位后，所得图象为偶函数图象；将f（x）图象向右平移s（s＞0）个单位后，所得图象为奇函数图象，求s+t的最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据向量垂直的坐标关系，即可求角B的大小；
（2）利用辅助角公式将f（x）进行化简将不等式f（x）+λ≥0进行转化，求函数的最值即可求λ的最小值；
（3）根据三角函数的平移关系结合三角函数的奇偶性求出s，t的最小值即可得到结论．

解答： 解：（1）∵

m

=（2a+c，b），

n

=（cosB，cosC），且

m

⊥

n

．
∴（2a+c）cosB+bcosC=0，
即2acosB+ccosB+bcosC=0，
由正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB+sin（C+B）=0，
∴sinA（2cosB+1）=0，
在三角形中，2cosB+1=0，即cosB=-

1

2

，解得B=

2π

3

．
（2）∵B=

2π

3

，∴A+C=

π

3

，
f（x）=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin（2x-

π

3

），
当x∈[0，

π

2

]时，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
要使f（x）+λ≥0恒成立，
即f（x）≥-λ，
则-λ≥-

3

2

，
即λ≤

3

2

，即λ的最小值是

3

2

．
（3）将f（x）=sin（2x-

π

3

）图象向左平移t（t＞0）个单位后，所得图象为f（x+t）=sin[2（x+t）-

π

3

]=sin（2x+2t-

π

3

），
要使f（x+t）是偶函数，则2t-

π

3

=kπ+

π

2

，即t=

kπ

2

+

5π

12

，∵t＞0，
∴t的最小值为

5π

12

．
f（x）=sin（2x-

π

3

）图象向右平移s（s＞0）个单位后，所得图象为f（x-s）=sin[2（x-s）-

π

3

]=sin（2x-2s-

π

3

），
要使f（x-s）是奇函数，则2s+

π

3

=kπ，即s=

kπ

2

-

π

6

，
∵s＞0，
∴s的最小值为

π

3

，
则．s+t的最小值为

5π

12

+

π

3

=

3π

4

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，综合考查三角函数的诱导公式以及辅助角公式的应用，综合性较强，运算量较大．