Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜π），在同一周期内，当x=

π

12

时，f（x）取得最大值3；当x=

7

12

π时，f（x）取得最小值-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[-

π

3

，

π

6

]时，函数h（x）=2f（x）+1-m有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜π），在同一周期内，当x=

π

12

时，f（x）取得最大值3；当x=

7

12

π时，f（x）取得最小值-3．所以确定A=3，又由于在一个周期内最大值与最小值之间的距离正好是半个周期从而求得ω，进一步根据最值确定φ．
（2）根据自变量的范围，确定函数的零点，即求h（x）=0的根，进一步求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜π），在同一周期内，当x=

π

12

时，f（x）取得最大值3；
当x=

7

12

π时，f（x）取得最小值-3．
∴A=3

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

∴T=π
∵ω=

2π

T

∴ω=2
又∵函数在同一周期内，当x=

π

12

时，f（x）取得最大值3．
∴2×

π

12

+φ=

π

2

+2kπ  （k∈Z）
解得 φ=2kπ+

π

3

  （k∈Z）
又∵|φ|＜π
∴φ=

π

3

进一步求得：f（x）=3sin（2x+

π

3

）
（2）∵在x∈[-

π

3

，

π

6

]时，函数h（x）=2f（x）+1-m有两个零点
∴h（x）=0有两个实数根，即函数图象有两个交点．
∴sin（2x+

π

3

）=

m-1

6

在[-

π

3

，

π

6

]上有两个根
∵x∈[-

π

3

，

π

6

]
∴2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
∴

m-1

6

∈[

3

2

，1）
即m∈[3

3

+1，7）．

点评：本题重点考查知识点：三角函数的解析式的求法，以及在某一定义域下利用函数的零点求参数的取值范围问题．是很好的高考题型．