Question

销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（万元）和Q（万元），它们与投入资金t（万元）的关系有经验公式P=

1

5

t，Q=

2

5

t

，今将4万元资金投入经营甲、乙两种商品．其中对乙种商品投资x （万元）．
（Ⅰ）试建立总利润y （万元）关于x的函数表达式，并指出定义域；
（Ⅱ）应怎样分配这4万元资金，才能获得最大总利润？并求出最大总利润．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）当自变量取x时，P函数中的t值为，Q函数的t值应为4-x，分别求得P和Q的值，从而得出当自变量取x时，总利润y万元关于x的函数表达式；
（2）利用换元法转化成一个二次函数的形式，最后结合二次函数的最值求法得出函数的最大值，从而解决问题．

解答： 解：（1）因为对乙种商品投资x万元，所以对甲种商品投资为4-x万元
由题意知：y=P+Q=

1

5

(4-x)+

2

5

x

（0≤x≤4）
即y=-

1

5

x+

2

5

x

+

4

5

（0≤x≤4）…（6分）
（Ⅱ）设

x

=m，则x=m²，且0≤m≤2．
∴y=-

1

5

x+

2

5

x

+

4

5

=-

1

5

(m2-2m-4)=-

1

5

(m-1)2+1
所以当m=1即

x

=1，也就是x=1万元时，总利润最大，y_max=1万元…（13分）
答：对乙种商品投资1万元，对甲种商品投资3万元，才能获得最大总利润，并且最大总利润为1（万元）．…（14分）

点评：本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题．需要对知识熟练的掌握并应用，属于中档题．