Question

用函数单调性定义证明f（x）=x+

2

x

在x∈（0，

2

）上是减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：设 0＜x₁＜x₂＜

2

，证出f（x₁）＞f（x₂），从而解决问题．

解答： 证明：设 0＜x₁＜x₂＜

2

，
则 f（x₁）-f（x₂）
=x₁+

2

x1

-（x₂+

2

x2

）
=（x₁-x₂）-

2(x1-x2)

x1x2

=（x₁-x₂） （1-

2

x1x2

）．
由0＜x₁＜x₂，
可得（x₁-x₂）＜0，（1-

2

x1x2

）＜0，
∴（x₁-x₂） （1-

2

x1x2

）＞0，
f（x₁）＞f（x₂），
故函数在（0，

2

）上单调递减．

点评：本题考查了函数的单调性的证明问题，定义法是常用方法之一，本题属于基础题．