Question

已知f（x）=（1-2x）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N^*）的展开式中没有常数项，且2＜n＜6，则展开式中含x²的系数是

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：若f（x）=（1-2x）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N^*）的展开式中没有常数项，可得（x+x^-3）ⁿ的展开式中没有常数项，
且没有x^-1项，可得n=5，即可求出展开式中含x²的系数．

解答： 解：若f（x）=（1-2x）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N^*）的展开式中没有常数项，可得（x+x^-3）ⁿ的展开式中没有常数项，
且没有x^-1项．
而（x+x^-3）ⁿ的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r n

•x^n-4r，
故n-4r=0无解，且n-4r=-1无解，
结合所给的选项可得，n=5，
（x+x^-3）⁵的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 5

•x^5-4r，
∴展开式中含x²的系数是（-2）×

C

1 5

=-10
故答案为：-10

点评：本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于中档题．