Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a+1）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx在区间[-1，1]上是减函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若g（x）≤λt-1在x∈[-1，1]上恒成立，求实数t的最大值；
（Ⅲ）若关于x的方程

lnx

f(x)

=x²-2ex+m有且只有一个实数根，求m的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（I）利用f（x）是在R上的奇函数，f（0）=0，可求出a的值，
（II）利用g（x）在[-1，1]上单调递减，则导数小于等于0，由此可求λ的范围．要使g（x）≤λt-1在x∈[-1，1]上恒成立，只需g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1≤λt-1在λ≤-1时恒成立即可．进而求出
实数t的最大值；
（Ⅲ）构造函数，求出函数的最值，比较最值之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（e^x+a+1）是实数集R上奇函数，
∴f（0）=0，
即ln（e⁰+a+1）=0⇒2+a=1⇒a=-1…（2分）．
将a=-1带入f（x）=lne^x=x，显然为奇函数．          …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=λf（x）+sinx=λx+sinx，
∴g'（x）=λ+cosx，x∈[-1，1]
∴要使g（x）是区间[-1，1]上的减函数，
则有g'（x）≤0在x∈[-1，1]恒成立，
∴λ≤（-cosx）_min，
所以λ≤-1．            …（5分）
要使g（x）≤λt-1在x∈[-1，1]上恒成立，
只需g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1≤λt-1在λ≤-1时恒成立即可．
∴（t+1）λ+sin1-1≥0（其中λ≤-1）恒成立即可．  …（7分）
令h（λ）=（t+1）λ+sin1-1（λ≤-1），
则

t+1≤0 h(-1)≥0

，即

t+1≤0 -t-2+sin1≥0

∴t≤sin1-2，
所以实数的最大值为sin1-2…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m，即

lnx

x

=x2-2ex+m，
令f1(x)=

lnx

x

，f2(x)=x2-2ex+m
∵f′1(x)=

1-lnx

x2

当x∈（0，e]时，f'₁（x）≥0，
∴f₁（x）在（0，e]上为增函数；
当x∈[e，+∞）时，f'₁（x）≤0，
∴f₁（x）在[e，+∞）上为减函数；
当x=e时，f1(x)max=

1

e

．      …（11分）
而f2(x)=x2-2ex+m=(x-e)2+m-e2
当x∈（0，e]时f₂（x）是减函数，当x∈[e，+∞）时，f₂（x）是增函数，
∴当x=e时，f2(x)min=m-e2．  …（12分）
只有当m-e2=

1

e

，即m=e2+

1

e

时，方程有且只有一个实数根．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．