Question

下列命题：
（1）p：?x∈R，tanx=1，q：?x∈R，x²-x+1＞0，则p∧?q为假；
（2）设直线l₁：ax+3y-1=0；l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件是

a

b

=-3；
（3）若sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，则tanα=5tanβ．
其中正确的有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：（1）依题意，可判断p与q均正确，从而可得p∧?q为假；
（2）依题意知l₁⊥l₂的充要条件是a×1+3b=0，当b=0时，

a

b

无意义，从而可判断（2）的正误；
（3）利用两角和与差的正弦可求得tanα=5tanβ，从而可判断（3）的正误．

解答： 解：（1）p：?x∈R，tanx=1，正确；
q：?x∈R，x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

＞0，正确，
则p∧?q为假，正确；
（2）设直线l₁：ax+3y-1=0；l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件是a×1+3b=0，当b=0时，

a

b

无意义，故（2）错误；
（3）∵sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，
∴sinαcosβ+cosαsinβ=

1

2

，sinαcosβ-cosαsinβ=

1

3

，
解得tanα=5tanβ，故（3）正确．
故答案为：2

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的关系及充分必要条件的概念及两角和与差的正弦，属于中档题．