题目内容
设F是抛物线y2=16x的焦点，A，B，C在抛物线上，且横坐标分别是x1，x2，x3，则下列说法正确的有 ．
①若
+
+
=
，则|
|+|
|+|
|=24；
②若x1+x3=2x2，则|
|，|
|，|
|成等差数列；
③若直线AB经过点F，则以AB为直径的圆与直线x=-4相切．
①若
| FA |
| FB |
| FC |
| 0 |
| FA |
| FB |
| FC |
②若x1+x3=2x2，则|
| FA |
| FB |
| FC |
③若直线AB经过点F，则以AB为直径的圆与直线x=-4相切．
考点：抛物线的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：①根据
+
+
=
，可判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值，再根据抛物线的定义，即可求得答案．
②|
|+|
|=x1+x3+8=2（x2+4）=2|
|，可得|
|，|
|，|
|成等差数列；
③AB的中点到直线x=-4的距离等于
AB，可得结论．
| FA |
| FB |
| FC |
| 0 |
②|
| FA |
| FC |
| FB |
| FA |
| FB |
| FC |
③AB的中点到直线x=-4的距离等于
| 1 |
| 2 |
解答：
解：抛物线焦点坐标F（4，0），准线方程：x=-4
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
∵
+
+
=
，∴点F是△ABC重心，
∴x1+x2+x3=12，
∵|FA|=x1-（-4）=x1+4，|FB|=x2-（-4）=x2+4，|FC|=x3-（-4）=x3+4
∴|
|+|
|+|
|=x1+4+x2+4+x3+4=（x1+x2+x3）+12=24，故①正确；
|
|+|
|=x1+x3+8=2（x2+4）=2|
|，∴|
|，|
|，|
|成等差数列，故②正确；
∵AB的中点到直线x=-4的距离等于
AB，∴以AB为直径的圆与直线x=-4相切，故③正确．
故答案为：①②③
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
∵
| FA |
| FB |
| FC |
| 0 |
∴x1+x2+x3=12，
∵|FA|=x1-（-4）=x1+4，|FB|=x2-（-4）=x2+4，|FC|=x3-（-4）=x3+4
∴|
| FA |
| FB |
| FC |
|
| FA |
| FC |
| FB |
| FA |
| FB |
| FC |
∵AB的中点到直线x=-4的距离等于
| 1 |
| 2 |
故答案为：①②③
点评：本题重点考查抛物线的简单性质与定义，考查向量知识的运用，解题的关键是判断出F点为三角形的重心．
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f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x2＞x1，x1+x2＞0，则下列说法正确的是（ ）
| A、f（x1）＞f（x2） |
| B、f（x1）=f（x2） |
| C、f（x1）＜f（x2） |
| D、f（x1）和f（x2）的大小关系不能确定 |