Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，动点P在底面ABCD内，且P到棱AD的距离与到对角线BC₁的距离相等，则点P的轨迹是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题

分析：作PM⊥AD、PE⊥BC、EF⊥BC₁，连接PF，由线面垂直的判定定理、定义可得：PF是P到BC₁的距离，以D为原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立直角坐标系，利用条件建立方程，化简后判断出点P的轨迹．

解答： 解：假设正方体边长为1，
作PM⊥AD、PE⊥BC、EF⊥BC₁，连接PF，
因为PE⊥CC₁，BC∩CC₁=C，所以PE⊥平面BCB₁C₁，
则PE⊥BC₁，又EF⊥BC₁，PE∩EF=E，
所以BC₁⊥平面PEF，则BC₁⊥PF，
所以PF是P到对角线BC₁的距离，
以D为原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立直角坐标系；
设任意一点P（x，y），到直线AD距离为|y|，到BC的距离PE=1-y，
在RT△BEF中，BE=1-x，EF=

2

2

(1-x)，
在RT△PEF中，PF=

|PE|2+|EF|2

=

(1-y)2+[ 2 2 (1-x)]2

，
因为P到棱AD的距离与到对角线BC₁的距离相等，
所以|y|=

(1-y)2+[ 2 2 (1-x)]2

，
化简得，（x-1）²=-4y+2（y≤

1

2

），
所以点P的轨迹是抛物线，
故答案为：抛物线．

点评：本题考查轨迹方程以及轨迹，线面垂直的判定定理、定义，考查学生分析解决问题的能力，确定轨迹方程是关键．