Question

已知函数f（x）=sin（2x-

π

6

）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）已知关于x的方程f（x）=2t在(

π

6

，

2π

3

)上有且只有一个根，求t的取值范围；
（3）当x∈(

π

6

，

2π

3

)时，若不等式2[f（x）]²+af（x）+a＞2（9）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,函数恒成立问题

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件根据y=Asin（ωx+）的周期等于 T=

2π

ω

可得结论．
（2）根据2x-

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

）．函数y=f（x）的图象和直线y=2t只有一个交点，可得2t=1或-

1

2

＜2t≤

1

2

，由此解得a的范围．
（3）当x∈(

π

6

，

2π

3

)时，-

1

2

＜f(x)≤1，设f（x）=t(-

1

2

＜t≤1)，即a＞2（1-t），(-

1

2

＜t≤1)恒成立．求得2（1-t）的范围，可得a的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin（2x-

π

6

）的最小正周期为T=π．
（2）∵x∈(

π

6

，

2π

3

)上，∴2x-

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

）．
由于关于x的方程f（x）=2t在(

π

6

，

2π

3

)上有且只有一个根，故函数y=f（x）的图象和直线y=2t只有一个交点，
∴2t=1或-

1

2

＜2t≤

1

2

，解得 t=

1

2

或-

1

4

＜t≤

1

4

．
（3）当x∈(

π

6

，

2π

3

)时，-

1

2

＜f(x)≤1．
设f（x）=t(-

1

2

＜t≤1)，不等式2[f（x）]²+af（x）+a＞2恒成立?2t²+at+a-2＞0，(-

1

2

＜t≤1)恒成立．
?a（t+1）＞2（1-t²），(-

1

2

＜t≤1)恒成立．
又因为t+1＞0，所以?a＞2（1-t），(-

1

2

＜t≤1)恒成立．
又2（1-t）∈[0，3），所以a≥3

点评：本题主要考查三角函数的周期性，方程根的存在性以及个数判断，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．