题目内容
4．
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB，CC1的中点，∨MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题：①平面MB1P⊥ND1
②平面MB1P⊥平面ND1A1
③∨MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；
④△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形．
其中正确的命题序号是（ ）
| A． | ① | B． | ①③ | C． | ②③ | D． | ②④ |
分析 由正方体的几何性质对四个命题时行判断，戡别正误，①平面MB1P⊥ND1；可用极限位置判断，②平面MB1P⊥平面ND1A1；可以证明MB1⊥平面ND1A1；③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值，可以看到其投影三角形底边是MB，再由点P在底面上的投影到MB的距离不变即可证得；④△MB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是三角形，由图形判断即可．
解答 解：在①中，平面MB1P⊥ND1；可用极限位置判断，当P与N重合时，MB1P⊥ND1垂直不成立，
故线面不可能垂直，此命题是错误命题；
在②中，平面MB1P⊥平面ND1A1；可以证明MB1⊥平面ND1A1，
由图形知MB1与ND1和D1A1都垂直，故可证得MB1⊥平面ND1A1，
进而可得平面MB1P⊥平面ND1A1，故是正确命题；
在③中，△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值，
可以看到其投影三角形底边是MB，再由点P在底面上的投影在DC上，
故其到MB的距离不变即可证得，故命题正确；
在④中，△MB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是三角形，
由于P与C1重合时，P、B1两点的投影重合，不能构成三角形，故命题错误．
综上②③正确．
故选：C．
点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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