Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F₂，过F₂作其中一条渐近线的垂线，分别交y轴和该渐近线于M，N两点，且$\overrightarrow{MN}$=3$\overrightarrow{N{F}_{2}}$，则$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设渐近线的方程为y=$\frac{b}{a}$x，过N作x轴的垂线，垂足为P，根据向量关系建立长度关系进行求解即可．

解答 解：设渐近线的方程为y=$\frac{b}{a}$x，过N作x轴的垂线，垂足为P，
由$\overrightarrow{MN}$=3$\overrightarrow{N{F}_{2}}$，得$\frac{|{F}_{2}P|}{|O{F}_{2}|}$=$\frac{|{F}_{2}N|}{|{F}_{2}M|}$=$\frac{1}{4}$，
得N的坐标为（$\frac{3c}{4}$，$\frac{3bc}{4a}$），
∵NF₂⊥ON，
∴$\frac{3bc}{4a}÷（\frac{3c}{4}-c）$=-$\frac{a}{b}$，
化简得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
则$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查双曲线向量的计算，根据条件结合向量共线的条件进行转化是解决本题的关键．