Question

8．已知O为原点，过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）上的点P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为2，则此双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\frac{1}{4}$x
• B． y=±$\frac{1}{3}$x
• C． y=±$\frac{1}{2}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

Answer 1

分析 利用待定系数法求出求出|OB|，P点到OB的距离，利用平行四边形OBPA的面积，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：双曲线的渐近线方程为x±ay=0，
设P（m，n）是双曲线上任一点，
过P平行于OB：x+ay=0的方程为x+ay+t=0，
∵直线过P（m，n），
∴m+an+t=0，即t=-m-an，
即过P平行于OB：x+ay=0的方程为x+ay-m-an=0，
与OA方程：x-ay=0交点是A（$\frac{m+an}{2}$，$\frac{m+an}{2a}$），
|OA|=|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$，P点到OA的距离是：
d=$\frac{|m-an|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$
∵平行四边形OAPB的面积为2，
∴|OA|•d=2
∴|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$•$\frac{|m-an|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=2，
即$\frac{|{m}^{2}-{a}^{2}{n}^{2}|}{a}$=4，
∵$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-{n}^{2}=1$，∴$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}{n}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
即m²-a²n²=a²，代入得$\frac{{a}^{2}}{a}$=4，
∴a=4，
则双曲线的渐近线方程为y=y=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{1}{4}$x，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线渐近线方程的计算，根据平行四边形的面积公式建立方程关系求出a是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．