Question

18．已知锐角α，β满足$\frac{sinα}{cosβ}$+$\frac{sinβ}{cosα}$＜2，设f（x）=log_ax（0＜a＜1），则下列判断正确的是（　　）

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（cosα）＞f（sinβ）
• C． f（sinα）＜f（sinβ）
• D． f（cosα）＜f（cosβ）

Answer 1

分析 由题意可得锐角α，β满足$α+β＜\frac{π}{2}$，由此求得sinα＜cosβ，再由复合函数的单调性得答案．

解答 解：∵锐角α，β满足α+β$＞\frac{π}{2}$，则$α＞\frac{π}{2}-β$，sinα＞sin（$\frac{π}{2}-β$）=cosβ，∴$\frac{sinα}{cosβ}＞1$，
同理$\frac{sinβ}{cosα}$＞1，则$\frac{sinα}{cosβ}$+$\frac{sinβ}{cosα}$＞2，与已知矛盾；
∴$α+β＜\frac{π}{2}$．
即$α＜\frac{π}{2}-β$，∴$sinα＜sin（\frac{π}{2}-β）=cosβ$，
∵f（x）=log_ax（0＜a＜1）为减函数，
∴f（sinα）＞f（cosβ）．
故选：A．

点评 本题考查三角函数的单调性，考查三角函数值的大小比较，训练了复合函数单调性的判定方法，是中档题．