题目内容
10．己知某气垫船的最大船速为48海里每小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比，若船速为30海里每小时，则每小时的燃料费用为600元，其余费用（不论船速多少）都是每小时864元，甲乙两地相距100海里，船从甲地行驶到乙地．（1）试把船从甲地行驶到乙地所需的总费用y元表示成船速x海里每小时的函数；
（2）当船速为多少海里每小时时，总费用最少？最少总费用为多少？
分析 （1）根据条件建立函数关系即可得到结论．
（2）利用基本不等式进行求解即可．
解答 解：（1）设船速为x，每小时使用的燃料费用E=ax2，
已知船速为30海里/时，每小时的燃料费用为600元，
则：600=a•302；
得a=$\frac{2}{3}$，
从甲地到乙地的总费用：
y=$\frac{2}{3}$•x2•$\frac{100}{x}$+864•$\frac{100}{x}$=$\frac{200x}{3}$+$\frac{86400}{x}$，（0＜x≤48）．
（2）∵y=$\frac{200x}{3}$+$\frac{86400}{x}$，（0＜x≤48）．
∴y=$\frac{200x}{3}$+$\frac{86400}{x}$≥2$\sqrt{\frac{200x}{3}•\frac{86400}{x}}$=2×2400=4800，
当且仅当$\frac{200x}{3}$=$\frac{86400}{x}$，即x=36，
即当船速为36海里每小时，总费用最少，最少总费用为4800元．
点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数的应用问题，利用基本不等式的性质是解决本题的关键．
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