Question

3．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面AA₁D₁D为矩形，AB⊥平面AA₁D₁D，CD⊥平面AA₁D₁D，E、F分别为A₁B₁、CC₁的中点，且AA₁=CD=2，AB=AD=1．
（1）求证：EF∥平面A₁BC；
（2）求D₁到平面A₁BC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）取A₁B的中点O，连接OE，OC，证明四边形OECF是平行四边形，可得EF∥OC，即可证明EF∥平面A₁BC；
（2）利用等体积法求D₁到平面A₁BC₁的距离．

解答 （1）证明：取A₁B的中点O，连接OE，OC，则OE平行且等于$\frac{1}{2}$BB₁，
∵F为CC₁的中点，∴CF平行且等于$\frac{1}{2}$CC₁，
∴OE平行且等于CF，
∴四边形OECF是平行四边形，
∴EF∥OC，
∵EF?平面A₁BC，OC?平面A₁BC，
∴EF∥平面A₁BC；
（2）解：△A₁BC₁中，A₁B=A₁C₁=$\sqrt{5}$，BC₁=$\sqrt{6}$，∴面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{5-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
设D₁到平面A₁BC₁的距离为h，则$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{21}}{2}$h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2$
∴h=$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．
即D₁到平面A₁BC₁的距离为$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．

点评 本题考查线面平行的判断，考查点到平面的距离，正确求体积是关键．