Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（其中x∈R，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[

π

6

，

2π

3

]时，f（x）的最值及其对应x的值；
（3）把函数y=f（x）图象向左平移

π

3

个单位，得到函数y=g（x）图象，请写出g（x）表达式并求出g（x）图象的对称轴和对称中心．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数的图象即可确定f（x）的解析式；
（2）根据三角函数的性质即可求f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合；
（3）根据三角函数的函数关系求出g（x），利用三角函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解：（1）函数周期T=4×（

7π

12

-

π

3

）=π=

2π

ω

，
则ω=2，
由图象可知A=3，
则f（x）=3sin（2x+φ），
当x=

π

3

时，2×

π

3

+φ=

π

2

，
解得φ=-

π

6

，
则f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x-

π

6

）；
（2）当x∈[

π

6

，

2π

3

]时，当2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]时
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，sin（

π

4

x+

π

4

）=1，
此时函数f（x）的取得最大值3．
（3）把函数y=f（x）图象向左平移

π

3

个单位，得到函数y=3sin[2（x+

π

3

）-

π

6

]=3sin（2x+

π

2

）=3cos2x；
即y=g（x）=3cos2x，
由2x=2kπ+

π

2

，解得x=kπ+

π

4

，即g（x）图象的对称中心为（kπ+

π

4

，0）．
由2x=2kπ，k∈Z，解得x=kπ，
即g（x）图象的对称轴为x=kπ，k∈Z

点评：本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数性质是综合应用，根据条件确定函数的解析式是解决本题的关键．